Gröbner tabanları ve lineer kodların temel parametreleri

Abstract

Değişmeli cebirin polinom halkaları, idealler, varyeteler ve Gröbner tabanları gibi temel kavram ve araçları, kodlama teorisindeki lineer kodların yapısını ve parametrelerini belirlemede önemli bir rol oynamaktadır. Bu tezde amaç, kodlama teorisinin bazı alanlarında uygulanabilecek olan Gröbner teoriye ait temel kavram ve yöntemleri tanıtmak, afin varyete ve afin kartezyen kodların temel özelliklerini incelemek, ve Gröbner tabanları kullanılarak elde edilen ayak izi (footprint) yönteminin, afin varyete kodlarının temel parametreleri olan uzunluk, boyut ve minimum uzaklığın belirlenmesindeki kullanımını ortaya koymaktır. Ayrıca, afin kartezyen kodların temel parametrelerine ilişkin, bahsi geçen yöntemin kullanılmasıyla literatürde elde edilen bazı sonuçlar incelenmektedir.

The fundamental concepts and tools of commutative algebra, such as polynomial rings, ideals, varieties, and Gröbner bases, play an important role in determining the structure and parameters of linear codes in coding theory. The aim of this thesis is to introduce the fundamental concepts and methods of Gröbner theory that can be applied to certain areas of coding theory, to examine the basic properties of affine variety codes and affine cartesian codes, and to demonstrate the use of the footprint method, based on Gröbner bases, in determining the fundamental parameters of affine variety codes, namely length, dimension, and minimum distance. Furthermore, some results reported in the literature concerning the fundamental parameters of affine cartesian codes, obtained by means of the aforementioned method, are examined.