Kuvvetleri fıbonaccı sayıları ile ilişkili olan matrisler

Abstract

Bu tezde, Fibonacci sayıları, Lucas sayıları ve girdileri bu sayılardan oluşan matrisler ve sağladığı özellikler incelenmiştir. İlk bölümde çalışmanın gelişimi ile ilgili bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, çalışmada kullanılacak olan temel kavramlar ilgili teoremler ve yöntemler açık ve anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Üçüncü bölümde, tezin ana konusuna taban niteliğinde olan Lucas sayıları ve Fibonacci sayıları tanımlanmış, sağladığı bağıntı ve teoremler ispatları ile birlikte verilmiştir. Sayı dizilerinin ardışık elemanlarının limit değerleri incelenmiş ve bu değerlerin altın oran ile ilişkisine değinilmiştir. Dördüncü bölümde, Fibonacci sayıları ile ilişkili olan matrisler tanımlanmış ve kuvvetlerinin de Fibonacci sayıları ile ilişkilerine değinilmiştir. Ayrıca üçüncü bölümde verilen teoremlerin bazıları matrisler ve matris işlemleri kullanılarak tekrar elde edilmiştir. Bu Fibonacci matrislerinin nasıl ve hangi koşullarda elde edilebileceği gösterilmiştir. Ayrıca, bir problemden yola çıkılarak, sonsuz boyutlu Fibonacci matrislerinin var olabileceğine de yer verilmiştir. Beşinci ve son bölümde ise sonuç ve öneriler kısmı sunulmuştur.In this thesis, Fibonacci numbers and Lucas numbers are studied, along with matrix forms of these numbers and the properties of these matrices. The first chapter gives general information about the development of the study. In the second chapter, the basic concepts, related theorems, and methods used throughout the thesis are explained clearly. The third chapter introduces Fibonacci and Lucas numbers, which form the basis of the study. Important relations and theorems about these sequences are presented together with their proofs. In addition, the limits of consecutive terms in these sequences are analyzed, and their connection to the golden ratio is discussed. In the fourth chapter, matrices related to Fibonacci numbers are defined, and the relationship between these matrices and Fibonacci numbers is examined. Some of the theorems given earlier are also derived again by using matrices and matrix operations. It has been shown how and under which conditions these Fibonacci matrices can be obtained. Furthermore, motivated by a specific problem, the study also suggest the possibility of the existence of infinite-dimensional Fibonacci matrices may exist. The fifth and final section presents the conclusions and recommendations of the study.