Sonlu Blaschke çarpımları ve bazı geometrik özellikleri

Abstract

Özel formdaki Möbius dönüşümlerinin sonlu çarpımları olarak tanımlanan sonlu Blaschke çarpımlarının ilginç geometrik özellikleri vardır. Bu çalışmanın amacı altın oran ve altın çokgenler ile birim diskte tanımlı sonlu Blaschke çarpımlarının geometrik özellikleri arasında bağlantı kurmak ve üst yarı düzlemde tanımlı sonlu Blaschke çarpımlarının bazı geometrik özelliklerini incelemektir. Bu tezde, ilk olarak birim diskteki ve üst yarı düzlemdeki Blaschke çarpımlarının tanımı ve bu Blaschke çarpımlarının bilinen bazı geometrik özellikleri verildi. İkinci bölümde Möbius dönüşümlerinin tanımı, bu dönüşümlerin temel özellikleri, altın oran ve altın çokgen kavramları, sonlu Blaschke çarpımlarının Poncelet özellikleri verildi. Üçüncü bölümde birim diskte tanımlı sonlu Blaschke çarpımlarının Poncelet eğrilerinin altın eğrilerle ve Poncelet eğrisini çevreleyen çokgenlerin altın çokgenlerle bağlantısı incelendi. Dördüncü bölümde birim diskte tanımlı 2. 3. ve 4. dereceden Blaschke çarpımlarının kendisinden daha düşük dereceden iki tane Blaschke çarpımının bileşkesi olarak yazılabilmesi ele alındı. Son bölümde ise üst yarı düzlemde tanımlı sonlu Blaschke çarpımlarının geometrik özellikleri ele alındı.

There are interesting geometric properties of finite Blaschke products defined as finite products of special Möbius transformations. The aims of this study is to establish a connection between golden ratio, golden polygons and geometric properties of finite Blaschke products for the unit disc, and investigate some geometric properties of finite Blaschke products for the upper half plane. In this thesis, initially the definitions of Blaschke products for the unit disc and upper half plane are given, then some known geometric properties of these Blaschke products are considered. In the second chapter, the definition of Möbius transformations, basic properties of these transformations, the notions of golden ratio and golden polygons, and Poncelet properties of finite Blaschke products are given. In the third chapter, the relationships between Poncelet curves of finite Blaschke products and golden polygons; the polygons circumscribing the Poncelet curve and golden polygons are investigated. In the fourth chapter, Blaschke products of order 2, 3 and 4 for the unit disc are considered and studied the problem when such Blaschke product can be written as a composition of two nontrivial Blaschke products of lower order. Finally, some geometric properties of finite Blaschke products for the upper half plane are investigated.