Genişletilmiş genel Hecke grupları

Abstract

Hecke gruplarını kapsayan genel Hecke grupları PSL(2,R) nin ayrık alt gruplarının bir sınıfıdır. Genel Hecke gruplarına iki mertebeli yansıma dönüşümünün eklenmesiyle genişletilmiş genel Hecke grupları elde edilir. Böylece genel Hecke grupları, genişletilmiş genel Hecke gruplarının iki indeksli normal alt grubu olurlar. Bu çalışmada genel Hecke ve genişletilmiş genel Hecke grupları incelenmiştir. Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde çalışma tanıtılmıştır. İkinci bölümde çalışma için gerekli bazı temel kavramlara ve sonuçlara yer verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde Hp,q genel Hecke grupları ve Hp,q genişletilmiş genel Hecke gruplarındaki sonlu mertebeli elemanların konjuge sınıfları elde edilmiştir. Dördüncü bölümde Hp,q ve Hp,∞(λ) genel Hecke gruplarının cinsi sıfır olan sonlu indeksli normal alt gruplarının simgeleri elde edilmiştir. Ayrıca bu şekildeki normal alt grupların sayısı da hesaplanmıştır. Beşinci bölümde H(p,q) genel Hecke gruplarının iki indeksli bir normal alt grubu olan çift alt grubun sunuşu ve simgesi elde edilmiştir. Benzer yöntemle Hp,q genişletilmiş genel Hecke gruplarının çift alt grubu incelenmiştir. Altıncı bölümde ikinci tip Hecke gruplarının genellemesi olan Hp,∞(λ) ve Hp,∞(λ) gruplarının kuvvet ve komütatör alt gruplarının sunuşları elde edilmiştir. Tezin yedinci bölümünde çalışma kapsamında elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. Ayrıca ileride yapılacak çalışmalar için açık problemler ve öneriler verilmiştir.

Hecke groups are included in generalized Hecke groups, a class of discrete subgroups of PSL(2,R). Extended generalized Hecke groups can be obtained by adding two ordered reflection map to generators of generalized Hecke groups. Hence generalized Hecke groups are normal in extended generalized Hecke groups with index 2. In this work generalized Hecke groups and extended generalized Hecke groups are studied. This thesis consists of seven chapters. In the first chapter the study is introduced. Some basic definitions and results that are necessary to this study are briefly recalled. In chapter three, the conjugacy classes of finite ordered elements in generalized Hecke groups Hp,q and extended generalized Hecke groups Hp,q are obtained. In chapter four the signatures of normal genus 0 subgroups of Hp,q and Hp,∞(λ) are obtained. Also their total number is calculated. In chapter five the presentation and signature of the even subgroup, the normal subgroup of generalized Hecke groups with index two, is determined. It is investigated the even subgroup of extended generalized Hecke groups by the same method. In chapter six, presentations of commutator subgroups and power subgroups of generalized Hecke groups Hp,∞(λ), the generalization of Hecke groups of second kind, and extended generalized Hecke groups Hp,∞(λ), are obtained. In chapter seven the results obtained from this study are discussed. Also open problems and suggestions for further studies are given.