R-Bonacci polinomları ve türevleri

Abstract

Bu tez çalışmasında R-Bonacci polinomları ve türevlerinin sıfır yerlerini açık ifadelerle belirlemek amacıyla uygun yöntemler araştırılmıştır. İlk olarak R-Bonacci polinomlarının sıfır yerlerini belirlemek için simetrik polinomlar elde edilmiştir. Simetrik polinomlar yardımıyla özel durumlarda referans noktaları bulunarak sıfır yerleri hesaplanmıştır. Diğer yandan simetrik polinomların diğer durumlarda sıfır yerlerinin karakterizasyonuna elverişli olmamasından dolayı R-Bonacci polinomlarının sıfır yerlerini içeren ideal bir halka bölge elde edilmesi amaçlanmıştır. Öncelikle iyi bilinen Lucas eşitliği kullanılarak bu polinomların sıfır yerlerini içeren yeni bir halka bölge elde edilmiştir. Ayrıca sıfır yerlerinin mutlak değerleri için Gershgorin teoremi kullanılarak üst sınır bulunmuştur. R-Bonacci polinomlarının sıfır yerlerini içeren yeni halka bölgelerin bilinen tekniklerle elde edilen bölgelerle kıyaslaması yapılmıştır. Daha sonra R-Bonacci polinomlarının türev polinomlarının bazı sınıflarının sıfır yerleri simetrik polinomlar yardımıyla hesaplanmıştır. Sıfır yerleri elde edilemeyen türev polinomlarının sıfırları için yeni halka bölgeler kullanılmıştır. Ayrıca tüm Fibonacci polinomlarının birinci mertebeden türevinin sıfır yerlerinin sağladığı bir eşitlik elde edilmiştir. Son olarak Lucas polinomlarının sıfır yerlerini Fibonacci polinomlarının sıfır yerlerine resmeden fonksiyonlar bulunmuştur. Bu fonksiyonların sıfırları nasıl resmettikleri incelenmiştir.

In this thesis, appropriate methods are investigated in order to determine explicitly the zeros of R-Bonacci polynomials and their derivatives. At first, symmetric polynomials are obtained to determine the zeros of R-Bonacci polynomials. These zeros are calculated with the help of symmetric polynomials, finding reference points in some special cases. On the other hand, it is aimed to obtain an optimal annulus area which includes the zeros of R-Bonacci polynomials since symmetric polynomials are inconvenient for characterization of the zeros of these polynomials in other cases. Initially, a new annulus area containing the zeros of these polynomials is obtained using well known Lucas identity. Also, an upper bound for absolute value of the zeros is found making use of Gershgorin theorem. These new annulus areas that include the zeros of R-Bonacci polynomials are compared with the areas obtained by known techniques. The zeros of some classes of the derivatives of R-Bonacci polynomials are calculated by means of symmetric polynomials. The new annulus areas are used for the zeros of derivatives of these polynomials whose zeros can not be obtained. Moreover, an identity satisfied by the zeros of first order derivative of Fibonacci polynomials is obtained. Finally, the functions mapping zeros of Lucas polynomials to zeros of Fibonancci polynomials are found. Also, it is examined how these functions map zeros.