Kompleks düzlemde polinomlarla yaklaşım

Abstract

l. Bölümde, kompleks düzlemde yaklaşım problemlerinin incelendiği bazı bölge ve eğri sınıflarının tanımları ve yanısıra bazı temel teoremler verildi. Daha sonra gereken analitik fonksiyon uzayları ve bu uzayların önemli özellikleri incelendi. Bölümün sonunda ise kvazikonform dönüşümler ve eğriler hakkında gereken bilgiler verilmiştir. 2. Bölümde, Lebesgue uzaylarının özel bir hali olan Bergman uzayları ve bu uzayın önemli fonksiyonlarından olan Bergman Çekirdek Fonksiyonu tanımlanmıştır. Ayrıca, Bergman çekirdek fonksiyonunun seri açılımı, Bergman uzaylarında integral gösterimi ve Bergman çekirdek fonksiyonu ile konform dönüşümler arasındaki formüller incelenmiştir. 3. Bölümde uygulamalı matematiğin birçok problemlerinde kullanılan Bieberbach polinomları tanımlanmış, bu polinomların Kvazikonform sınırlı bölgelerde yaklaşım özellikleri ve Riemann konform dönüşümlere yaklaşım hızları araştırılmıştır. 4. Bölümün birinci kısmında Dini-düzgün bölgelerin B(α,β) alt sınıflarında Bieberbach polinomları ile konform dönüşüme yaklaşım problemleri ve yaklaşım hızı incelenmiştir. Bu bölümün ikinci kısmında ise B(α,β), α∈(0,1], β∈[0,∞) bölgeler sınıfında (πn ) dizisinin genelleşmesi olan(πn,p ) ekstremal polinomlar dizisi İle φp(z):= ∫ z zn[φ'0(ζ)]2/p dζ, z∈G, p>0, fonksiyonuna yaklaşım problemleri incelenmiş ve yaklaşım hızları ile ilgili sonuçların bir özeti verilmiştir.

In the first chapter, the definitions of some domains and the classes of curves where the approximation problems in the Complex plane have been examined and also some basic theorems have been introduced. Then, the required analytic function spaces and the important properties of these spaces have been investigated. At the end of the chapter, the necessary information about the quasiconformal mappings and curves has been given. In the second chapter, Bergman space which is the important subspace of Lebesgue spaces have been investigated. An important function of this space so called the Bergman kernel function have been defined. Moreover the series representation of Bergman kernel function, the integral representation in the Bergman spaces, and the connections between the Bergman kernel function and conformal mappings have been investigated. In the third chapter, the Bieberbach polynomials which are often used in the most areas of applied Mathmatics have been defined, and also their's approximation properties in the domains with a quasiconformal boundary and specially the approximation speeds of these polynomials to the Riemann conform mapping have been investigated. The fourth chapter consists of two parts. In the first part , the approximation properties of the Bieberbach polynomials and the approximation speeds have been examined in the B(α,β) subspaces of Dini-Smooth domains. In the second part of this chapter, in the case of subspaces L∈(α,β), α∈(0,1], β∈[0,∞) to the aproximation problems for the function φp(z):= ∫ z zn[φ'0(ζ)]2/p dζ, z∈G, p>0, by the extremal polynomials sequence (πn,p) which is a generalization of the sequence (πn) is investigated and the detailed abstract of the results, relating to the approximation speed are given.