Kesirli türev ile modellenen bir bilgisayar virüsü yayılımının sistem analizi ve optimal kontrolü

Abstract

Bilgisayar virüsleri insan yapımı olan ve aynı bir biyolojik virüsün insandan insana bulaşması gibi bilgisayardan bilgisayara yayılarak ilerler. Bilgisayar virüslerinin dinamiklerini anlayabilmek ve yol açabileceği zararları öngörebilmek adına çeşitli matematiksel modeller geliştirilmiş ve bu modellerin kararlılık analizi, optimal kontrolü gibi çalışmalar son yıllarda önem kazanmıştır. Bu çalışma bir bilgisayar ağındaki virüs yayılımının zararını ortadan kaldırmayı amaçlayan minimum anti-virüs yazılımı yükleme maliyetini farklı optimal kontrol stratejileri için incelemektedir. Ele alınan model, Caputo kesirli türevli bir SEIR epidemiyolojik modelidir. Modelle ilgili mevcut çalışmalardan farklı olarak, kurtarılan bilgisayarların herhangi bir mekanik nedenden dolayı arızalanabileceği düşünülmüş ve model buna göre geliştirilmiştir. Ayrıca modelde birim uygunluğu da sağlanmıştır. Literatürde sınırlı sayıda çalışma olmasına rağmen kontrol değişkeni denge noktalarını ve dolayısıyla kontrollü sistemin kararlılığını etkilemektedir. Bu nedenle, kontrol edilen sistem için R0 adı verilen yeniden üreme sayısı tekrar hesaplanmıştır. Optimal kontrol problemi formüle edilmeden önce optimal kontrolün varlığı ispatlanmıştır. Daha sonra Hamilton formalizmi kullanılarak optimal sistem elde edilmiştir. Çözüm için nümerik yöntem olarak Adams-tipi tahmin edici-düzeltici yöntemi ile ileri-geri süpürme yöntemi birleştirilerek elde edilen optimal sisteme uygulanmıştır. Nümerik yöntem sonucu elde edilen grafikler MATLAB yazılımı ile elde edilmiştir. Önerilen üç kontrol stratejisi karşılaştırıldığında, Strateji 1'in en etkili anti-virüs kurulum stratejisi olduğu açıktır. Ayrıca nümerik sonuçlar arasında Caputo, Caputo-Fabrizio ve Atangana-Baleanu kesirli türevlerinin karşılaştırması da verilmiştir ve üç kesirli türev arasından en istendik sonuç Caputo kesirli türevi için olduğu gözlemlenmiştir.

Computer viruses are man-made and spread from computer to computer, just as a biological virus spreads from person to person. Various mathematical models have been developed in order to understand the dynamics of computer viruses and to predict the damage they may cause, and studies such as stability analysis and optimal control of these models have gained importance in recent years. This study examines the minimum cost of installing anti-virus software for different optimal control strategies aimed at eliminating the damage of virus propagation in a computer network. The model under consideration is a Caputo fractional derivative SEIR epidemiological model. Unlike the existing studies on the model, it has been thought that the recovered computers could fail for mechanical reasons, and the model has developed accordingly. In addition, unit consistency has been also ensured in the model. Although there are a limited number of studies in the literature, the control variable affects the equilibrium points and thus the stability of the controlled system. Therefore, the reproduction number, R0 , is recalculated for the controlled system. Before the optimal control problem is formulated, the existence of optimal control has been proven. Then, the optimal system is obtained by using Hamiltonian formalism. As a numerical method for the solution, the Adams-type predictor-corrector method and the forward-backward sweep method are combined and applied to the optimal system obtained. The graphs obtained as a result of the numerical method are obtained with MATLAB software. Comparing the three proposed control strategies, it is clear that Strategy 1 is the most effective anti-virus installation strategy. In addition, the comparison of the Caputo, Caputo-Fabrizio, and Atangana-Baleanu fractional derivatives among the numerical results is also given, and it is observed that the most anticipated result among the three fractional derivatives is for the Caputo fractional derivative.