Sayısal yarıgrup halkalarının Betti sayıları

Abstract

R, k cismi üzerinde polinom halkası ve M bir R-modül olsun. M modülünün Betti sayısı, R halkası üzerindeki sonlu üretilmiş derecelendirilmiş modüllerin çalışılmasında önemli değişmezlerden birisidir. Betti sayıları, üreteçler ve bunların arasındaki bağıntılar ile tanımlanırlar. Tanımının basitliğine rağmen çok sayıda bilgiyi içerirler. Matematiğin pek çok alanında karşımıza çıkan sayısal yarıgruplar, değişmeli monoidlerdir ve izomorfizmalarla (ℕ, +) monoidinin tüm alt monoidlerini sınıflandırırlar. Bu tez sayısal yarıgrup halkalarının Betti sayıları ile ilgili bazı sonuçların bir derlemesidir. Sayısal yarıgruplar ve serbest çözülümlere kısa bir giriş yaptıktan sonra, modüllerin serbest çözülümlerini hesaplamak için Gröbner Baz Teorisini kullanan Schreyer Algoritmasını çalışıyoruz. Derecelendirilmiş Betti sayılarını ve Betti tablolarını detaylı örnekler ile açıklıyoruz. Ardından, düşük gömme boyutundaki sayısal yarıgruplar hakkında bilinen bazı sonuçları veriyoruz.

Let R be a polynomial ring over a field k and M be an R-module. The Betti numbers of M, comes out as one of the most important invariants in the study of finitely generated graded modules over R. The Betti numbers are defined in terms of generators and relations between them. In spite of its simple definition, Betti numbers contain a great deal of information. Numerical semigroups appearing in various branches of mathematics are commutative monoids and classify all submonoids of (ℕ, +) up to isomorphism. This thesis a survey of some results about Betti numbers of numerical semigroup rings. After giving a short introduction to numerical semigroups and free resolutions, we study the Schreyer Algorithm which uses the theory of Gröbner bases to compute free resolutions of modules. We explain graded Betti numbers and Betti tables with detailed examples. Then, we give some results about the numerical semigroups in small embedding dimensions.