H (√¯2) ve H (√¯3) genişletilmiş Hecke grupları ile pozitif tanımlı kuadratik formlar arasındaki ilişkiler

Abstract

Bu çalışmada, katsayıları sırasıyla Z[√¯2] ile Z[√¯3] halkalarından alınan ve taban noktası da sırasıyla x=-√¯2/m doğrusu ile x=-√¯3/m doğrusu üzerinde olan pozitif tanımlı kuadratik formların varlığı gösterilmiş, bu pozitif tanımlı kuadratik formlar ile H (√¯2) ve H (√¯3) genişletilmiş Hecke grupları arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, çalışma tanıtılmıştır. İkinci bölümde, tezin diğer bölümlerinde kullanılacak tanımlar, teoremler, örnekler ve metodlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, genişletilmiş modüler grup ile tamsayı katsayılı pozitif tanımlı kuadratik formlar arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Dördüncü bölüm tezin ana kısmıdır. Bu bölümde, üçüncü bölümde verilen genişletilmiş modüler grup ile tamsayı katsayılı pozitif tanımlı kuadratik formlar arasındaki ilişkiler, H (√¯2) ve H (√¯3) genişletilmiş Hecke grupları ile sırasıyla katsayıları Z[√¯2] ve Z[√¯3] halkalarından alınan pozitif tanımlı kuadratik formlar arasında incelenmiştir. Ayrıca bu pozitif tanımlı kuadratik formların indirgenebilirliği ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, tezde elde edilen sonuçlar ve ileride yapılacak çalışmalar için açık problemler verilmiştir.

In this study presence of positive definite quadratic forms of which coefficients taken from the rings of Z[√¯2] and Z[√¯3] and base points are on x=-√¯2/m and x=-√¯3/m lines respectively have been shown and the relationships between these positive definite quadratic forms and H (√¯2) and H (√¯3) extended Hecke groups are investigated. This thesis consists of five chapters. In the first chapter the study is introduced. In the second chapter, it is given that the definitions, theorems, examples and methods which are used in the other chapters are briefly recalled. In the third chapter relationships between extended modular group and positive definite quadratic forms with integer coefficients have been examined. The forth chapter is the main part of the thesis. In this chapter the relationships, given in the third chapter, between extended modular group and positive definite quadratic forms with integer coefficients are investigated between H (√¯2) and H (√¯3) extended Hecke groups and positive definite quadratic forms of which coefficients taken respectively from Z[√¯2] and Z[√¯3] rings. Furthermore, findings on reducibility of these positive definite quadratic forms have been revealed. In the fifth chapter, the results obtained from the thesis are summarized and some open problems for future studies are given.