Genişletilmiş Hecke gruplarının bazı altgrupları ve Pell-Lucas sayıları ile ilişkileri

Abstract

Bu tezde, H(λq) Hecke grubunun indeksleri bilinen bazı temel denklik altgruplarının üreteçleri bulunmuştur. Bu üreteçler yardımıyla Pell ve Pell-Lucas sayılarının bir genellemesi verilmiştir ve sayılar teorisinde bazı uygulamaları çalışılmıştır. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümü olup çalışma tanıtılmıştır. İkinci bölümde, H(λq) Hecke grubu ve H¯(λq) genişletilmiş Hecke grubunun tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, H¯(λq) genişletilmiş Hecke grubunun q≥3 asal sayısı için bazı denklik ve temel denklik altgruplarının üreteçleri verilmiştir. Daha sonra, temel denklik altgrubun üreteçlerini kullanarak genelleştirilmiş Pell sayısı ve genelleştirilmiş Pell-Lucas sayısının tanımları yapılmıştır ve bu sayıların özellikleri incelenmiştir. Ayrıca bu dizilerin polinom olarak yazılabileceği de gösterilmiştir. Daha sonra, bu bölümde tanımlanmış olan Ak ve Bk matrislerinin Q(√d) cismindeki sabit noktaları verilmiştir. Bu bölümde son olarak, tanımladığımız genelleştirilmiş Pell ve genelleştirilmiş Pell-Lucas sayılarının H¯(λ3 ) genişletilmiş modüler grupta bir uygulaması verilmiştir. Dördüncü bölümde, H¯(λq) genişletilmiş Hecke grubunun iki seviyeli temel denklik altgrubu için kare kuvvet altgrupları incelenmiştir. Beşinci bölümde, H¯(λq ) genişletilmiş Hecke grubunun q≥3 tamsayısı için kuvvet altgrupları incelenmiştir. Altıncı bölümde, tezde elde edilen sonuçlar verilmiştir.

In this thesis, generators of some principal congruence subgroups of Hecke groups with known indexes have been found. With the help of these generators, a generalization of Pell and Pell-Lucas numbers are given and some applications of generators are studied in numbers theory. This thesis consists of six chapters. In the first chapter which is the introduction, the fundamental notions and results of the study is introduced. In the second chapter, the definitions of Hecke group and extended Hecke group were given. In the third chapter, generators of some congruence and principal congruence subgroups in the extended Hecke group for q≥3 prime are given. Then, the definition of generalized Pell numbers and generalized Pell-Lucas numbers by means of the generators of principal congruence subgroups are given and properties of these numbers have been examined. Additionally, the fact that these sequences can be written in polynomial form is shown. Moreover, the fixed points of the matrices Ak and Bk in Q(d) are given that are defined. Finally in this chapter, an application of generalized Pell and generalized Pell-Lucas numbers in the extended modular group is given. In the fourth chapter, the square power subgroups of the principal congruence subgroup of level two in the extended Hecke groups H¯(λq) are studied. In the fifth chapter, the power subgroups of the extended Hecke groups H¯(λq) for q≥3 are studied. In the sixth chapter, the results obtained in this thesis are summarized.