Bazı grup genişlemelerinin özel durumlar ile incelenmesi

Abstract

Bu tez, bazı sonlu grup genişlemelerinin nilpotentliğini ve çözülebilirliğini inceler. Bunu yapmak için, bu grupların sunuşları kullanılmıştır. Diğer bir deyişle, bu sunuşlar üzerine bazı cebirsel özellikler uygulayarak, bu sunuşlarla temsil edilen grupların nilpotentlik ve çözülebilirliği verilmiştir. Bu doktora tezi dört bölüm içerir. Birinci bölümde genel anlamıyla gruplar, sunuşlar ve grup genişlemeleri üzerinde bazı temel cebirsel özellikler tekrar tanımlandı. Bu bölümün amacı, bu temel verileri tezin diğer bölümlerinde kullanmaktır. İkinci bölümde serbest çarpımlar, birleştirilmiş serbest çarpımlar, HNN genişlemeler ile elde edilen grupları çalıştık ve sonra grupların bu türlerinin nilpotentliği ve çözülebilirliği hakkında bazı orijinal sonuçlar verdik. Bölüm 3' te, grup genişlemelerinin bir örneği olan iki sonlu grubun yarı- direkt çarpımını çalıştık ve sonra bu tezin amaçları doğrultusunda bu bölümün ana sonuçlarım verdik. Son bölümde, yarı-direkt çarpımın anlamının ayrık genişleme olmasının doğal bir sonucu olan iki sonlu grubun standart wreath çarpımı üstünde çalıştık. Daha sonra, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların genişlemesi olan, bu wreath çarpım hakkında bazı ana sonuçlar elde ettik.

This thesis examines the nilpotentency and solvability of some finite group extensions. To do that, the presentation of these groups, has been used. In other words, by applying some algebraic properties on these presentations, the nilpotentency and solvability of the groups represented by these presentation has been given. This Ph.D thesis contains four chapters. In the first chapter, in general some fundamental algebraic properties on groups, presentations and extensions of groups are recalled. The aim of this chapter is to use these fundamental data through the other chapters of the thesis. In the second chapter, we studied the groups obtained by free products, amalgamated free products, HNN extensions and then gave some original results about the nilpotentency and solvability of these types of groups. In Chapter 3, we studied the semi-direct product of two finite groups which is an example of group extensions and then gave the main results of this chapter in line with the aim of this thesis. In the final chapter, we worked on the (standard) wreath product of two finite groups which is a natural consequence of the semi-direct product. Then, we obtained some main results about this wreath product, that are extensions of the results obtained in the previous chapters.