Kübik rezidüler

Abstract

Bu tezin amacı kuadratik rezidüler için literatürde geniş bir şekilde yer alan sonuçlan, kübik rezidüler için elde etmek ve bunlar yardımıyla üçüncü dereceden denklemlerin çözümleri ile ilgili yöntemler ortaya koymaktır. Bu çalışma yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde daha sonraki bölümlerde gerekli olacak bazı önbilgiler hatırlatılmıştır. İkinci bölümde kübik denklemlerin tarihçesi ve bunları çözme amacıyla ortaya atılmış olan yöntemler verilmiştir. Üçüncü bölümde kuadratik rezidüler ile ilgili sonuçlar bir araya getirilmiş, dördüncü bölümde ise kübik rezidüler ele alınmıştır. Bu bölümde D=Z[(ö] halkasındaki asallar sınıflandırılmış, ve kübik rezidü kavramı ele alınmıştır. Çeşitli formüller elde edilmiş, değişik asal sayı tipleri için kübik rezidü karakterinin nasıl hesaplanacağı belirlenmiştir. Kübik İndirgeme Yasası verilmiştir. Beşinci bölümde özel bazı kübik denklemlerin çözümünde kübik rezidülerden nasıl faydalanılabileceği ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümdeki tüm sonuçlar orijinaldir. Altıncı bölüm, kübik denklemlerin yaklaşık köklerini bulma ile ilgili yöntem lere ayrılmıştır. Yedinci ve son bölümde ise tezde neler yapıldığı belirtilmiştir.

The aim of this thesis is to determine the methods for calculating cubic residues and the methods used in solving cubic equations by means of cubic residues, similarly to the ones given in literature for quadratic residues. This work consists of seven chapters. In the first chapter some preliminary information used in succeding chapters are given. In the second chapter the history of cubic equations and the methods given for solving these are mentioned. In the third chapter, results for quadratic residues are collected. In the fourth chapter cubic residues are investigated. In this chapter, first, the primes in the ring D=Z[w] are classified, and then the notion of cubic residue is introduced. Several formulae are obtained to calculate cubic residue character for several types of primes in Z[co]. Cubic reciprocity law is given. In the fifth chapter, some results concerning the solutions of some specific cubic equations by means of cubic residues are given. All results in chapters fourth and fifth are original. The approximation methods for finding the roots of a given cubic equation are recalled. At the final chapter, the conclusion and summary of what has been done at the thesis is given.