Möbius dönüşümleri ve elipsler

Abstract

Kesirli lineer dönüşümler olarak da bilinen Möbius dönüşümleri ilk kez 1831 yılında ortaya çıkmıştır. Bu dönüşümler kompleks analizde ve cebirsel geometride çok önemli bir yere sahiptir. Möbius dönüşümlerinin bilinen en temel karakteristik özelliği, çemberleri çemberlere resmetmesidir. Bu tezin amacı Möbius dönüşümlerinin bu karakteristik özelliğinin elipslerde de geçerli olup olmadığını göstermektir. Çemberler, elipslerin odaklarının çakışması durumu olmasına rağmen; bu karakteristik özellik elipsler için her zaman doğru değildir. Çünkü Möbius dönüşümleri genel olarak elipsleri reel bikuadratik eğrilere dönüştürürler. Bununla birlikte Möbius dönüşümlerinin özel bir sınıfı olan benzerlik dönüşümleri, elipsleri elipslere resmederler. Elipslerin en önemli fiziksel özelliği; elipsin bir odağından gelen herhangi bir ışının elipse çarptıktan sonra diğer odaktan geçecek şekilde yansımasıdır. Elipsin bu yansıma özelliğinin haberleşme, lazer teknolojisi ve tıp gibi günlük hayatta birçok uygulama alanı vardır. Elipslerdeki bu yansıma özelliği kullanılarak geri dönme dönüşümü elde edilir. Böylece elde edilen bu geri dönme dönüşümü bir Möbius dönüşümüdür ve bu Möbius dönüşümünün katsayıları hiperbolik fonksiyonlardır.

Möbius transformations, which are called also fractional linear transformations, were introduced in 1831 at first. This transformations have an important area in complex analysis and algebraic geometry. The most basic characteristic property of Möbius transformations is that they map circles to circles. The aim of this thesis is determine whether this characteristic property of Möbius transformations is valid for ellipses or not. Although the circles are the coincidence of the foci of the ellipses, this characteristic property is not always true for ellipses. Because Möbius transformations map ellipses to real biquadratic curves. However, similarity transformations, which are the special class of Möbius transformations, map ellipses to ellipses. The most important physical property of ellipses is that a ray emanating from one focus of an ellipse is reflected by the ellipse in such a way as to pass through its other focus. This reflection property of ellipse has a lot of application area in everyday life such as communication, laser technology and medicine. The return map is obtained by using this reflection property of ellipses. Therefore, this return map is a Möbius transformation and the coefficients of this Möbius transformation are hyperbolic functions.