Kesirli yayılım-dalga denklemlerinin silindirik koordinatlarda incelenmesi

Abstract

Kesirli Analiz, tamsayı mertebeli türev ve integralin keyfi mertebeye bir genişlemesidir. Pek çok fiziksel sistem ve süreç kesirli türevler kullanılarak gerçeğe daha yakın olarak modellenebilir. Bu yüzden son yıllarda kesirli türevler uygulamalı matematik, fen ve mühendislik alanlarında önemli rol oynamaktadır. Kesirli diferansiyel denklemler sistem dinamiklerini tanımlamak için kullanılır. Dolayısıyla sistem davranışını tanımlayan kesirli diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak için pek çok metot ortaya konmuştur. Bir kesirli yayılım-dalga denklemi, klasik yayılım veya dalga denklemlerindeki birinci ya da ikinci mertebeden türevlerin keyfi mertebeden türevlerle yer değiştirmesi sonucunda elde edilen lineer kısmi diferansiyel denklemdir. Bu denklemlerin çözümlerini bulmaya yönelik olan ilgi giderek artmaktadır. Pek çok araştırmacı kesirli yayılım-dalga denklemlerini anormal yayılım ve alt yayılım sistemlerinin modellemesi, kesirli rasgele dağılımın tanımlanması gibi sistem davranışlarının tanımlanmasında kullanmıştır. Bu tezde, silindirik koordinatlarda tanımlanan kesirli yayılım-dalga problemlerinin çözümleri araştırılmıştır. Bu yüzden problemin formülasyonunda radyal simetri doğal olarak ortaya çıkar. Sistem dinamikleri Riemann-Liouville kesirli türevi ile tanımlanmıştır. Problemin analitik ve nümerik çözümlerinin bulunmasında sırası ile "Laplace Dönüşüm Metodu" ve "Grünwald-Letnikov Yaklaşımı" kullanılmıştır. Çözümlerin karşılaştırılması amacı ile MATLAB programı kullanılarak bazı simülasyon sonuçları elde edilmiştir. Böylece analitik ve nümerik çözümlerin örtüştüğü gösterilmiştir. Buna ek olarak, adım uzunluğuna, Bessel fonksiyonlarının sıfırlarının sayısına ve türevlerin mertebesinin değişimine bağlı olarak elde edilen simülasyon sonuçları verilmiş ve analiz edilmiştir.

Fractional Calculus is a generalization of ordinary differentiation and integration to arbitrary order. Many physical systems and processes can be modeled more accurately using fractional derivatives. Therefore, fractional derivatives have played a significant role in applied mathematics, science and engineering areas in recent years. Fractional differential equations (FDEs) are used to define the system dynamics. For this reason, several methods have been proposed to find the solution of the FDEs which describe the behaviour of the system. A fractional diffusion-wave equation is a linear partial differential equation obtained from classical diffusion or wave equation by replacing the first /second order derivative by a fractional derivative. There has been growing interest to investigate the solutions of this type of equations. Many researchers have used fractional diffusion-wave equation to define the behaviour of a system such as modeling of anomalous diffusive and sub-diffusive systems, description of fractional random walk and so on. In this thesis, the solutions of a fractional diffusion-wave problem defined in cylindrical coordinates have been investigated. Therefore, axis-symmetry naturally arises in formulation of the problem. System dynamics have been defined in terms of Riemann-Liouville fractional derivative. "Laplace Transform Method" and "Grünwald-Letnikov Approach" have been used to find the analytical and numerical solutions of this problem, respectively. For the purpose of comparison of the solutions, some simulation results have been obtained by using MATLAB program. Therefore, it has been shown that analytical and numerical results overlap. In addition, some simulation results related with the number of step size, the zeros of Bessel functions and the order of derivatives have been given and analyzed.