Faber polinomları ve onların yaklaşım özellikleri

Abstract

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, önce ilerideki bölümlerde kullanılacak olan temel tanımlar, gösterimler ve teoremler verilmiş, daha sonra yaklaşımın incelendiği ağırlıklı Bergman uzayları tanımlanmış, yaklaşımın derecesi ve en iyi yaklaşım polinomu ile ilgili gereken bilgiler verilmiştir. Bölümün son kısmında, yaklaşım teorisinde kvazikonform dönüşümler teorisinin kullanılması ile yeni uygulama boyutu kazanan kvazikonform eğriler ve kvazikonform yansımalar tanımlanmıştır. İkinci bölümde yaklaşım teorisinde yaklaşan polinomlann inşası için vazgeçilmez bir obje haline gelmiş olan Faber polinomları ve genelleştirilmiş Faber polinomlan incelenmiştir. İlk önce, Faber ve genelleştirilmiş Faber polinomlanmn asimptotik özellikleri araştırılmıştır. Bu bölümün son kısmında Faber serileri ve genelleştirilmiş Faber serilerinin yaklaşım özellikleri, karmaşık düzlemin basit bağlantılı bölgelerinde incelenmiştir. Son bölümde, kvazikonform sınırlı bölgelerde geçerli olan, analitik fonksiyonların bölge üzerinden bir integral gösteriminin doğurduğu genelleştirilmiş Faber serilerinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bu bölümde önce bazı gerekli yardımcı sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra ağırlıklı Bergman uzaylarında genelleştirilmiş Faber serilerinin yaklaşım özellikleri ve teklik problemleri incelenmiş ve yaklaşım hatası değerlendirilmiştir.

This work consists of three chapters. In the first chapter, basic definitions, notations and theorems which are used in the following two chapters are given. After that, the weighted Bergman spaces, in which the approximation is investigated, are defined, and the necessary information about the degree of approximation and the best approximant polynomial are given. At the final part of the chapter, quasiconformal curves and quasiconformal reflections used in the approximation theory by means of quasiconformal mapping theory are given. In the second chapter, Faber polynomials and generalized Faber polynomials which has been used without alternative in the construction of approximant polynomials in approximation theory are investigated. Firstly, asymptotic properties of Faber and generalized Faber polynomials are investigated. Secondly, approximation properties of Faber and the generalized Faber series are considered in the simply connected regions in the complex plane. In the final chapter, the approximation properties of generalized Faber series which are generated by an integral representation over a region, which is valid for bounded regions with quasiconformal boundary are investigated. Firstly, some necessary lemmas are obtained and then the approximation properties and uniqueness problems of the generalized Faber series and the error of approximation in the weighted Bergman spaces are given.