Diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri

Abstract

Parabolik denklemler sonlu fark yöntemleri kullanılarak çözülürler. Sonlu fark yaklaşımları; açık ve kapalı yöntemler olmak üzere iki grupta incelenir. Açık yöntem, U(x, t+k) bilinmeyen değerlerinin; adım adım U(x, t) bilinen değerlerini kullanarak doğrudan hesaplanmasıdır. Dolayısıyla, t yönünde noniterativ işlem yapar. Bir nonlineer denkleme uygulandığında sonuçta bir denklem sistemi vermesine rağmen kararlılık söz konusu olduğunda bazı kısıtlamalar getirdiğinden yeterli değildir. Kapalı yöntem, çözümde iterativ işlem kullanılmasıdır. Kararlılık ve yakınsaklık bakımından iyi olmakla birlikte, lineer olmayan bir denkleme uygulandığında yine lineer olmayan bir denklem sistemi verir. Bu yöntemlerle ilgili ayrıntılı açıklamalar 2 ve 3. bölümlerde verilmiştir. aU_a'u ataya, Oxxx,t> bağıntısı sonlu fark yöntemleri kullanılarak dV= AV+b seklindeki adi diferansiyel denkleme indirgenir. Burada A ve b, t'den bağımsızdır ve VO), VOg başlangıç koşulunu sağlar. A, (N-1) mertebeli, 1-2 11-21 şeklinde bir matristir. formundaki adi diferansiyel denklemin çözümü 3. Bölüm'de gösterilmiştir. Kararlılık konusu 4. Bölüm'de verilmiştir. 5. Bölüm'de difüzyon ve reaksiyon difüzyon denklemleri için nümerik yöntemler anlatılmıştır. Ekler bölümünde =AV+b diferansiyel denkleminin Özdeğerlerinin bulunuş yöntemi ve klasik açık yaklaşımın bilgisayar programı Basic dilinde verilmiştir.

Parabolic equations are solved by means of finite difference methods. Finite difference approximations are studied in two groups, namely explicit and implicit. The explicit method is the direct computation of U(x, t+k) unknown values by using U(x, t) known values in a step-by-step manner. Thus, this method operates noniteratively in the direction oft. When applied to a non-linear equation, it does yield an equation system, but when it comes to stability, it is not efficient as it brings about certain restrictions. The implicit method is the utilization of an iterative operation in the solution. Although this is efficient as far as stability and convergence are concerned, it yields a nonlinear equation when applied to another nonlinear equation. Detailed explanations concerning these methods have been given in section 2 and 3 of this thesis. Equation âV â2U ât âx2, 00 can be reduced to the ordinary differential equation - = AV+b dt by using finite difference methods. Here, A and B are independent of t; and V(t) satisfies V(0)=g initial condition. A is a matrix in the form of 111 \ having/an (N-l) order. The solution of ordinary differential equation in the form of ÜX = AV+b dt has been shown in section 3. The subject of stability has been given in section 4. In section 5 numerical methods for diffusion and reaction-diffusion have been explained. dV Calculation method of eigenvalues of differential equation - = AV + b and dt Basic-Language computer program for classical explicit approximation have been given in the appendix section.