Sabit noktaların geometrisi ve sabit noktalardaki süreksizlik

Abstract

Sabit nokta teorisinde daralma şartlarının çeşitli genellemelerinin ortaya çıkardığı ilgi çekici bazı geometrik yapılar mevcuttur. Bu çalışmanın amacı, dönüşümlerin sabit noktası birden fazla olduğunda sabit nokta kümesinin geometrik özelliklerini, Rhoades'in sabit noktadaki süreksizlik kavramı ile ilgili açık problemini ve dönüşümlerin sabit nokta kümesinin elemanları üzerindeki süreklilik-süreksizlik durumunu incelemektir. Bu tezde, ilk olarak sabit nokta teorisinin bir genellemesi olan sabit çember ve sabit disk problemleri ele alındı. İkinci bölümde metrik uzayların bir genellemesi olan S-metrik uzayların temel özellikleri, metrik ve S-metrik arasındaki ilişki ve metrik ile S-metrik uzaylarda çember, disk ve sabit çember tanımları ele alındı. Üçüncü ve dördüncü bölümlerde metrik ve S-metrik uzaylarda sırasıyla sabit çember ve sabit disk problemlerine ve Rhoades'in açık problemine yeni çözümler verildi. Beşinci bölümde metrik ve S-metrik uzaylarda ortak sabit nokta ve ortak sabit çember sonuçları verildi. Altıncı bölümde metrik uzaylarda dönüşümlerin sabit nokta kümesinin elemanları üzerindeki sabit noktadaki süreksizlik kavramı ile ilgili durumunun bir uygulaması verildi ve Rhoades'in açık probleminin bir genellemesi tanıtıldı. Son bölümde ise kapalı bağıntı kullanılarak metrik uzaylarda yeni sabit nokta sonuçları verildi.

There are some interesting geometric constructions in the fixed point theory that arise from various generalizations of the contraction conditions. The purpose of this study is to examine the geometry of the set of fixed points when the number of the fixed points of self-mappings is more than one, along with the Rhoades' Open Problem on the discontinuity at fixed point and the continuity-discontinuity case on the elements of the fixed point set of self-mappings. In this thesis, the fixed circle and the fixed disc problems, as the generalization of the fixed point theory, are first recalled. In the second chapter, the basic properties of S-metric spaces, which are new generalizations of metric spaces, the relationship between a metric and an S-metric, and the definitions of the notions of a circle, disc and fixed circle on metric and S-metric spaces are recalled. In the third and fourth chapters, new solutions are given to the fixed circle and fixed disc problems, Rhoades's Open Problem in metric and S-metric spaces, respectively. In the fifth chapter, common fixed point and common fixed circle results are examined in metric and S-metric spaces. In the sixth chapter, an application of the state of self-mappings in metric spaces related to the concept of discontinuity at fixed point on elements of the fixed point set is given and a generalization of Rhoades' Open Problem is introduced. Finally, new fixed point results are given in metric spaces using implicit relation.