İstatistiksel manifoldların geometrisi

Abstract

Bu tezde istatistiksel manifoldlar üzerinde çalışılmıştır. Bilinen bazı istatistiksel manifoldlar üzerinde skaler eğrilik için bazı eşitsizlikler elde edilmiş ve bu manifoldlar üzerinde Chen- Ricci ve genelleştirilmiş Wintgen eşitsizliği bulunmuştur. Bu eşitsizliklerin eşitlik durumları gözönüne alınmıştır. Ayrıca farklı bir istatistiksel manifoldun submersiyonları incelenmiş, bu submersiyonların temel ve baz manifoldlarının bazı şartlar altında özellikleri araştırılmıştır. Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde tez süresince bize yardımcı olacak bazı temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde istatistiksel manifoldlar ile ilgili tezin diğer bölümlerinde kullanılacak temel bazı kavramlara yer verilmiştir. Dördüncü bölümde yarı sabit eğrilikli istatistiksel manifold tanımı verilip; ardından bir örnek verilmiştir. Bu manifoldun altmanifodlarının skaler eğriliği için eşitsizlik verilmiş olup, yine bu tip altmanifoldlar için Chen-Ricci ve genelleştirilmiş Wintgen eşitsizliği elde edilmiştir. Beşinci bölümde Sasaki-benzeri istatistiksel manifoldların istatistiksel altmanifold kavramı verilmiş olup; ardından çeşitli örnekler elde edilmiştir. Ayrıca bu tip altmanifodların skaler eğriliği için bir eşitsizlik bulunmuş olup yine bu tip altmanifoldlar için Chen-Ricci eşitsizliği ifade edilmiştir. Altıncı bölümde ise kosimplektik-benzeri istatistiksel manifoldların submersiyonları elde edilmiş olup; bazı şartlar altında temel ve baz manifoldlarının özellikleri incelenmiştir. Bu tip manifoldların eğrilik tensörlerinin sağlaması gereken bir eşitlik tanımlanmış olup yine bu eşitlik altında temel ve baz manifoldlarının bazı özellikleri araştırılmıştır.

In this thesis, statistical manifolds are studied. Some inequalities for scalar curvature on some known statistical manifolds have been obtained and Chen Ricci, generalized Wintgen inequalities on these manifolds have been found. Equality cases of these inequalities are examined. In addition, submersions of a different statistical manifold and the properties of the total and base spaces of these submersions are examined under some conditions. This thesis consists of six chapters. The first part is the introduction. In the second part, some basic concepts are given to help us during the thesis. In the third part, some basic concepts related to statistical manifolds which are used in the other chapters of the thesis are given. In the fourth part, the definition of the statistical manifolds of quasi-constant curvature and then an example of these manifolds are given. For the scalar curvature of the statistical submanifold of the these statistical manifolds, an inequlity is found. Chen-Ricci and generalized Wintgen inequality are obtained for the scalar curvature of the submanifolds of these manifolds. In the fifth part, the concept of statistical submanifold of Sasaki-like statistical manifolds is given and then various examples are obtained. In addition, an inequality is obtained for the scalar curvature of such submanifolds and Chen-Ricci inequality is given for these submanifolds. In the sixth part, submersions of cosymplectic-like statistical manifolds are obtained and properties of total and base spaces are examined under some conditions. The equality that the curvature tensors of these types of manifolds should provide is defined and some properties of the total and base space are investigated under this equality.